Kombinatorik Aufgaben, Formeln mit Erklärung

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Kombinatorik Aufgaben, Formeln mit Erklärung

Kombinatorik ist ein Teilbereich der Stochastik und der Kern seiner Aufgaben liegt darin, die Anzahl von Möglichkeiten mit Hilfe von Formeln systematisch zu zählen, wenn es nur endlich viele oder abzählbar viele Möglichkeiten für etwas gibt. In diesem Fall kann man dann anhand der berechneten Anzahl die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten einer der Möglichkeiten angeben. 

Bereits in der Grundschule können Schüler spielerisch an Aufgaben aus dem Bereich Kombinatorik herangeführt werden, indem erst einmal durch Ausprobieren untersucht wird, wie viele Möglichkeiten es gibt, bestimmte Objekte (zum Beispiel unterschiedlich farbige Bauklötze) anzuordnen. In der Grundschule geht es bei solchen Aufgaben noch nicht darum, tatsächliche Wahrscheinlichkeiten zu berechnen und Formeln zu erkennen, sie dienen hier vor allem dazu, das Verständnis der Kinder für das Zählprinzip zu festigen und zu trainieren. 

Eine der grundlegende Formeln in der Kombinatorik ist die sogenannte Produktregel:
Besteht ein Experiment aus k vielen Stufen (das heißt man führt k viele Schritte aus, bis das Experiment beendet ist), wobei der Ausgang einer Stufe keinen Einfluss auf den Ausgang einer anderen hat, und gibt es auf jeder Stufe jeweils n_i (i=1,..., k) viele Möglichkeiten für ein Ergebnis, so gibt es für das ganze Experiment insgesamt
n_1*n_2*...*n_k
viele mögliche Ausgänge.

Grundsatzfragen

Wenn wir in der Kombinatorik Aufgaben lösen wollen, müssen wir uns zu Beginn folgenden Fragen stellen, bevor wir die passenden Formeln für die Berechnung der Anzahl an Möglichkeiten auswählen können:

Permutationen

Wird ein Ereignis betrachtet, bei dem alle Elemente der zugrunde liegenden Menge benutzt werden (zum Beispiel alle Schüler einer Klasse auf den vorhandenen Plätzen verteilen), so spricht man in der Kombinatorik von einer Permutation. Für eine Grundmenge mit n unterschiedlichen Elementen gilt folgenden Formel, die auch als Allgemeines Zählprinzip bekannt ist: es gibt
n! = 1*2*3*...*(n-1)*n
viele mögliche Permutationen.
Befinden sich in der Grundmenge gleichartige Objekte, die nicht unterschieden werden können, so muss man n! jeweils durch den Faktor ki! teilen, wobei ki die Anzahl der zueinander gleichartigen Objekte angibt, um die richtige Anzahl an möglichen Permutationen zu erhalten. Der Index i ist variabel, je nachdem wie viele Gruppe von gleichartigen Objekten es in der Grundmenge gibt.

Stichproben

Kommt es einem bei seiner Aufgabe nicht auf alle, sondern nur auf eine Auswahl von Objekten aus der Grundmenge an, so spricht man in der Kombinatorik von einer Stichprobe. Bei Stichproben unterscheidet man zwischen geordneten Stichproben, bei denen die Reihenfolge der Elemente von Bedeutung ist (Variation), und ungeordneten Stichproben, bei denen die Reihenfolge keine Rolle spielt (Kombination). Außerdem muss man bei seinen Aufgaben unterscheiden, ob Elemente aus der Grundmenge mehrfach in der Stichprobe auftreten können (Stichprobe mit Wiederholungen) oder nicht (Stichprobe ohne Wiederholungen). Dann kann man für seine Aufgaben folgende Formeln anwenden:
Für eine geordnete Stichprobe mit Wiederholungen gibt es n*n*...*n = nviele Möglichkeiten, wobei n die Anzahl der Elemente in der Grundmenge angibt und k den Umfang der Stichprobe (zum Beispiel k-maliges Würfeln, dann ist n = 6). Diese wichtige Formel der Kombinatorik wird im Urnenmodell beschrieben, welches 1713 von Jakob Bernoulli das erste mal schriftlich beschrieben wurde.

Mit den gleichen Bezeichnungen gilt für eine geordnete Stichprobe ohne Wiederholung: es gibt
n!/(n-k)! = (1*2*3*....*(n-1)*n)/(1*2*3*....*(n-k-1)*(n-k))=(n-k+1)*(n-k+2)*....*(n-1)*n
viele Möglichkeiten. 

Für ungeordnete Stichproben gelten folgende Formeln:
Ohne Wiederholung gibt es n!/((n-k)!*k!) viele Möglichkeiten und mit Wiederholungen gibt es (n+k-1)!/((n-1)!*k!) viele Möglichkeiten.

Lotto-Gewinn-Wahrscheinlichkeiten berechnen

Wer schon immer wissen wollte, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, im Lotto 6 richtige Zahlen aus 49 zu haben (mit oder ohne Superzahl), kann dies mit der Kombinatorik relativ einfach berechnen. Die Lösung (mit der Superzahl) lautet übrigens 1 zu 13.983.816, also ungefähr einer Wahrscheinlichkeit von 0,000 000 007 15 .

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